lunes, 19 de septiembre de 2011

Ejercicios

HIPÓTESIS DE INVESTIGACIÓN 
EJERCICIO 1 
El expendio Pollos Deliciosos asegura que 90% de sus órdenes se entregan en menos de 10 minutos. En una muestra de 100 órdenes, 82 se entregaron dentro de ese lapso. Puede concluirse en el nivel de significancia 0,01, que menos de 90% de las órdenes se entregan en menos de 10 minutos?


1).DATOS:                          
n=100
p=0.82
Alfa= 0.01
pi= 0.90
NIVEL DE SUGNIFICANCIA ES 0.01
ESTADISTICO ADECUADO ES  




















El valor de z= -2.66
Valor critico = -2.32
Se rechaza Ho y se acepta la hipótesis alternativa
Esto quiere decir que menos del 90% de los clientes recibieron sus pedidos en 10 minutos

EJERCICIO  2
Un artículo reciente, publicado en el diario USA today, indica que solo a uno de cada tres egresados de una universidad les espera un puesto de trabajo. En una investigación a 200 egresados recientes de su universidad, se encontró que 80 tenían un puesto de trabajo. Puede concluirse en el nivel de significancia 0,02, que en su universidad la proporción de estudiantes que tienen trabajo es mayor?


2). Datos:                            

N= 200
p = 0.40
alfa = 0.02
pi = 0.33
NIVEL DE SUGNIFICANCIA ES 0.01































El valor de z= 2.12



Valor critico = 2.05

Se rechaza Ho y se acepta la hipótesis alternativa
La proporción de estudiantes egresados de la Universidad que tienen trabajo es mayor que 0.33



EJERCICIO 3 
A una muestra a nivel nacional (en Estados Unidos) de ciudadanos influyentes de los partidos republicano y demócrat, se les preguntó entre otras cosas, si estaban de acuerdo con ladisminución de los estándares ambientales para permitir el uso del carbón con alto contenido de azufre como combustible. Los resultados fueron:
Al nivel de significancia 0,02, puede decirse que hay una proporción mayor de Demócratas a favor de reducir los estándares?



                                              

a). Es esta una prueba de una o de dos colas
Es una prueba de una cola
b). Establezca la regla de decisión
Si z > que el valor crítico, se rechaza la hipótesis nula y se acepta H1
c). Calcule el valor del estadístico de prueba




Chavistas
Oposición
Cantidad muestreada
1000
800
Cantidad a Favor
200
168




1999
2000
N1= 1000
N2= 800
X1= 200
X2= 168
P1= 0.2
P2= 0.21
Alfa= 0.02



d). Plantear la regla de decisión. 
Alfa = 0.02 = 2.05 valor de la tabla
Si Z > que 2.05 se rechaza la Ho, se acepta la H1

e). Tomar la decisión
Como Z (0.52) < 2.05 se acepta la Ho, se concluye que no existe diferencia entre republicanos y demócratas. 



EJERCICIO  4
Harry Hutchings es propietario de un gimnasio y afirma que la ingestión de ciertas vitaminas aumente la fuerza corporal. Se seleccionan aleatoriamente 10 estudiantes atletas y se les aplica una prueba de fuerza muscular. Después de dos semanas de tomar las vitaminas y de entrenamiento se les aplica nuevamente la prueba. Los resultados se muestran a continuación:


Nombre
Antes
Despues
Diferencia
D2
Juan Valdez
190
196
-6
36
José Méndez
250
240
10
100
Carlos González
345
345
0
0
Edward Cedeño
210
212
-2
4
Antonio Giráldez
114
113
1
1
Josue Stefan
126
129
-3
9
Enrique Espinoza
186
189
-3
9
Pedro Parrilla
116
115
1
1
Jorge Carreño
196
194
2
4
Hernán Gutiérrez
125
124
1
1



1
165


a). Es esta una prueba de una o de 2 colas
R= es una prueba de una cola

b). NIVEL DE SUGNIFICANCIA ES 0.01


d). Regla de decisión= alfa 0.01
Gl = 10-1 = 9
Si t > que 2.821 rechazo Ho y Acepto el H1
e). Tomar la decisión: como t (0.07) es menor que 2.821 aceptamos la hipótesis nula y concluimos que no existió reducción en la fuerza muscular de los atletas.
El valor p es mucho menor que 0.10 




HIPÓTESIS ESTADÍSTICA 

Muchas veces en la práctica tenemos que tomar decisiones sobre poblaciones a partir de informaciones muestrales. Estas decisiones se llaman decisiones estadísticas. Por ejemplo, podemos probar si un biofertilizante es mejor que otro; una norma de riego incrementa el rendimiento de un cultivo, etc.
Al intentar tomar decisiones, es útil hacer suposiciones acerca de las poblaciones analizadas, estas suposiciones que pueden ser o no verdaderas son llamadas hipótesis estadísticas y en general son suposiciones sobre las distribuciones de probabilidad de las poblaciones.
Los procedimientos que nos permiten decidir si se acepta o se rechaza la hipótesis o determinar si las muestras observadas difieren grandemente de los resultados esperados, son llamados pruebas o dócimas de hipótesis.
La prueba de hipótesis es la parte de la inferencia estadística que nos brinda los métodos necesarios para decidir acerca de la validez de una hipótesis estadística, en base a los resultados observados en una muestra.
Una hipótesis estadística es una aseveración o conjetura con respecto a una o más poblaciones.  La verdad o falsedad de una hipótesis estadística nunca se sabe con absoluta certidumbre a menos que examinemos toda la población. Esto es poco práctico y en su lugar tomamos una muestra aleatoria de la población. La aceptación de una hipótesis simplemente implica que los datos no dan suficiente evidencia para rechazarla.
Hipótesis nula y alternativa.
La estructura de la prueba de hipótesis se formulará con el uso del término hipótesis nula. Esta se refiere a cualquier hipótesis que deseamos probar y se denota por Ho. El rechazo de Ho conduce a la aceptación de una hipótesis alternativa que se denota por Hl
Tenemos:
Hipótesis nula = Ho
Hipótesis alternativa = Hl

Ho: Contiene siempre la igualdad (=). Es la que se acepta o se rechaza. Es la que se somete a prueba.
H1: Es la que deberá ser aceptada si la Ho se rechaza o viceversa.
Ejemplo
Se conoce que el peso promedio de un conejo de 2 meses de edad es de 1600 g y desviación estándar de 120 g. Se suministró una cierta dieta a un grupo de 100 conejos y se obtuvo un peso promedio de 1570. Pruebe la hipótesis de  que el peso promedio es diferente de 1600g a un nivel de significación del 1%.
Planteamos la hipótesis
Ho: µ = 1600.
Hl : µ ≠ 1600

El procedimiento utilizado para rechazar o aceptar una hipótesis es lo que se llama:          Prueba de Hipótesis

Nivel de significación.
Al probar una hipótesis la probabilidad máxima con que desearíamos arriesgarnos a un error de tipo I se llama nivel de significación de la prueba o dócima. Esta probabilidad con frecuencia se denota por α, generalmente es especificada antes de que se saquen algunas muestras de manera que los resultados obtenidos no influirán en nuestra selección.
En la práctica es normal un nivel de significación de 0.05 ó de 0.01, aunque se pueden usar otros valores. Sui por ejemplo se selecciona un nivel de significación del 5 % al diseñar una prueba de hipótesis, hay 5 oportunidades entre 100 de que rechacemos la hipótesis cuando esta debe ser aceptada, es decir tenemos un 95 % de confianza de haber tomado la decisión correcta. En tal caso decimos que la hipótesis ha sido rechazada a un nivel de significación del 5 % lo que indica que podemos estar equivocados con una probabilidad de 0.05.

Antes de realizar una prueba tenemos que fijar la parte que nos hace rechazar la hipótesis que estamos probando, llamándose a esta parte del espacio muestral: Región crítica o de rechazo  y los otros valores: Región de aceptación.
Región crítica: Área donde se rechaza    Ho (Hipótesis nula)
Región de aceptación: Área donde se acepta  Ho (Hipótesis nula).
Tipo de errores:

En cualquier prueba de hipótesis se utiliza una muestra para extraer conclusiones acerca de la población correspondiente pero esta conclusión no será del todo cierta pues cualquier prueba incluye un riesgo de error por eso puede ocurrir que:
-       Rechazamos Ho: Siendo cierto
-       Aceptamos Ho: Siendo falso

Existen  dos tipos de errores:
Error tipo  I  o
Error tipo II o β


 

O sea cuando rechazamos una hipótesis cuando debiera aceptarse, decimos que se ha cometido un error de tipo I, si por el contrario aceptamos una hipótesis cuando debe ser rechazada decimos que se ha cometido un error de tipo II. En ambos caso se ha tomado una decisión errónea o se ha incurrido en un error al hacer el juicio, por lo que se debe tratar de que disminuyan los errores de decisión. Esto no es sencillo, ya que para el tamaño de muestra dado, un intento de disminuir un tipo de error viene acompañado por el aumento del otro. En la práctica un tipo de error puede ser más serio que  otro. La única forma de reducir ambos tipos de error es aumentar el tamaño de la muestra.

Procedimientos para la prueba de hipótesis.
1.- Establecer la hipótesis nula.
2.- Elegir una hipótesis alternativa apropiada a partir de una de las alternativas θ< θ0; θ > θ0; θ ≠ θ0.
3.- Elegir un nivel de significación de tamaño α.
4.- Seleccionar la estadística de prueba apropiada y establecer la región crítica.
5.- Calcular el valor del estadístico de prueba a partir de los datos de la muestra.
6.- Decisión. Rechazar H0 si la estadística de prueba tiene un valor en la región crítica.

Prueba de Hipótesis sobre la media de una población con  conocida

Ejemplo:
Supongamos que el peso promedio del cultivo del tomate en el Organopónico del centro es de 68 Kg/parcela y la desviación típica de 10 kg. Un investigador selecciona una muestra  aleatoria de 49 parcelas y determina en ella lo siguiente:
X= 64 kg,
Pruebe la hipótesis de que el rendimiento promedio de la muestra difiere del de la población a un nivel de significación del 5%.
Solución:
Datos:
n = 49
X= 58 kg
 O= 10 kg
m = 68 kg
a = 5 %

1) Planteamiento de la hipótesis:
Ho: m = 68 kg      
Hl: m = ≠ 68 kg     
Región crítica


 Ejemplos:

El Instituto Nacional de protección de plantas, plantea que la duración (distribuida normalmente) de determinado producto sistémico es inferior a 20 meses, para probar esto se seleccionó una muestra de 64 productos, siendo la media muestral igual a 22. Se conoce que la desviación típica poblacional es igual a 7. ¿Es cierta la afirmación de los investigadores del Instituto para un nivel de significación del 5 %.



















 6) Toma de decisiones:
     Como Zc > -Zt se acepta la hipótesis alternativa y se rechaza la nula
Por lo que el planteamiento de los investigadores no es cierto.

Prueba de hipótesis sobre la media de una población con desconocida.
Con o desconocida se usa la distribución t de Student, pero para muestras grandes, hemos analizado en conferencias anteriores que mientras mayores sean los grados de libertad, mayor será el parecido de estas dos distribuciones.
En este caso la desviación típica de la muestra puede aproximarse a la desviación típica de la población, o sea:

 
Ejemplo
Se conoce que el peso promedio de un conejo de 2 meses de edad es de 1600 g y desviación estándar de 120 g. Se suministró una cierta dieta a un grupo de 100 conejos y se obtuvo un peso promedio de 1570. Pruebe la hipótesis de  que el peso promedio es diferente de 1600g a un nivel de significación del 1%.
Planteamos la hipótesis
Ho: µ = 1600.
Hl : µ ≠ 1600

Pero si en vez  de trabajar con muestras grandes, se trabajara con muestras pequeñas, entonces trabajaríamos con la distribución t de Student y para esta distribución se requiere que la variable aleatoria, esté distribuida normalmente, por lo que debe de tenerse cuidado cuando se trabaja con muestras pequeñas a diferencia de las muestras grandes, donde probablemente X se distribuya normalmente en forma aproximada a diferencia de las muestras que necesitan del conocimiento de (σ)o una buena estimación de ella, las muestras pequeñas no necesariamente necesitan de su conocimiento y podemos afirmar que en muchos problemas prácticos no puede obtenerse.¿Será S una buena estimación de (σ) cuando las muestras son pequeñas?






Presentamos ahora en forma tabular las regiones críticas para cada una de las hipótesis teniendo en cuenta que  es desconocida(σ) 


Ejemplo:
Supongamos que el peso promedio de las frutas de una población de melón es de 4.60 kg. Un investigador selecciona una muestra de 20 frutas de forma aleatoria y determina en ella los siguientes estadígrafos X= 4.50 kg, S = 1.3 kg.
Pruebe la hipótesis de que el estadígrafo medio está de acuerdo con el parámetro de la población para un nivel de significación del 5 %.



Prueba de hipótesis entre dos medias.
1.- Se desean comparar dos dosis de un bioestimulador del crecimiento en caña de azúcar. Se tomaron 12 muestras de plantas tratadas con la dosis 1 obteniendo una longitud media de 1,2 m. De la dosis 2 se tomaron 8 muestras obteniendo una longitud promedio de 1,15. De experiencias anteriores se sabe que la varianza es de 0,40 aproximadamente. ¿Parece razonable la diferencia entre los dos resultados?
1.- Planteamos la hipótesis.
Ho: µ1 =µ2                                              α=0.01
Hl: µ1≠ µ2
2.- Como σ no es conocida aplicamos Z.











Zcal=0.17<Ztab=2.58 Aceptamos la hipótesis nula y rechazamos la alternativa, por lo que la diferencia resulta razonable.

2.- Se probaron dos tipos de alimentos para cerdos. Se desea probar cual de los dos tipos es mejor. Una muestra de 12 cerdos se alimenta con la dieta 1 y otra muestra con la dieta 2. Las ganancias de peso son las siguientes:






 Ejercicios propuestos.
2.-Se compararon 2 tipos de insecticidas, siendo el 1 más barato que el tipo 2. Los datos expresan el % de insectos muertos por área y se analizan un total de 5 muestras. Nos gustaría adoptar el tipo 1 a menos que tengamos razón para creer que el 2 es mejor. Nivel de significación 5 %.











Por lo tanto aceptamos la Ho y se rechaza la Hl por lo tanto el planteamiento de los investigadores nos es correcto. 










Ejercicio de hipótesis.

El buen hábito de higiene bucal que deben tener las personas para una dentadura saludable es el tema de tesis que realiza un alumno de la carrera de Odontología de la Universidad de Talca, y para ello, su estudio se centra en niños de 7 años de edad que asisten a dos colegios A y B en la zona urbana de Talca, registrando la cantidad de cepillados diarios que realizan los niños:

Cantidad de               
Cepillados       Cantidad de niños
Diarios            Colegio A        Colegio B
0
2
15
1
3
13
2
7
11
3
9
8
4
10
5
5
14
4
6
16
1

Pero el alumno cuando completa sus fichas, no siempre registra el nombre del colegio al cual asiste el niño, y con la información previa propone el siguiente test de hipótesis:

H0: El niño asiste al colegio A.
H1: El niño asiste al colegio B.

Para concluir, establece la siguiente regla de decisión: Rechazar H0 si el niño realiza a lo más 1 cepillado diario.

a. ¿Cuál es la probabilidad de cometer error tipo 1?.
Interprete.

Respuesta:

α = P(rechazar H0/H0 es verdadera).
α = P(el niño realiza a lo más 1 cepillado diario y que asiste al colegio A).
α = (2+3)/(2+3+7+9+10+14+16) = 5/61.
α = 0.0820.

Existe una probabilidad del 8.20% de afirmar que el niño asiste al colegio B cuando en verdad asiste al colegio A.

b. ¿Cuál es la probabilidad de cometer error tipo 2?
Interprete.

Respuesta:

β= P(aceptar H0/H1 es verdadera).
β = P(al niño realiza más de 1 cepillado diario y que asiste al colegio B).
β = (11+8+5+4+1)/(15+13+11+8+5+4+1) = 29/57.
β = 0.5088.
Existe una probabilidad del 50.88% de afirmar que el niño asiste al colegio A cuando en verdad asiste al colegio B.

c. Si el niño realiza 3 cepillados diarios, ¿A cuál colegio asiste?. ¿Qué tipo de error podría cometer?.

Respuesta:

Si el niño realiza 3 cepillado diarios, no se rechaza H0, es decir, el niño asiste al colegio A.
Se podría estar cometiendo error tipo 2.

d. Si el niño seleccionado realiza 3 cepillados diarios, ¿Cuál es el valor_p? ¿Cuál es la decisión y conclusión?.

Respuesta:

Valor_p = P(el niño realiza a lo más 3 cepillado diarios y que asiste al colegio A).
Valor_p = (2+3+7+9)/61 = 21/61.
Valor_p = 0.3443.
Para todo valor de α mayor ó igual al 34.43%, se rechaza H0, es decir, con α = 8.20% no se rechaza H0, luego, el niño asiste al colegio A.


  • Un fabricante de aparato domestico esta considerando la compra de una nueva maquina para prensar partes metálicas U0 es el numero promedio de partes buenas prensadas por horas con su maquina antigua y U es el promedio correspondiente para la maquina nueva el fabricante quiere probar  la hipótesis nula U=U0 contra una alternativa pertinente ¿cual deberia ser la alternativa.                                         

a_No quiere comprar la maquina nueva a menos que sea mas productiva que la antigua.                                                                            b_Quiere comprar maquina nueva(que tiene otra caracteristica atrativa al menos sde que sea menos productiva que la antigua. 
                                                                                                                                                                                                                                 Solución:                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          a_ El fabricante deberia usar la hipotesis alternativa U>U0 y comprar la maquina nueva solo si se puede rechazar la hipotesis nueva.              
b_El fabricante deberia usar la hipotesis alternativa U<Uo y comprar la maquina nueva alk menos de que se rechaze la hipotesis nula                                  

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